Zadanie tygodnia

To było ostatnie zadanie. 
A rozwiązanie ostatniego zadania, czyli liczba 5, to ocena (najwyższa na studiach)
dla wszystkich Miłośników Matematyki.


Dziękujemy za wspólny rok – Rok Matematyki!


ZADANIE 52 (tydzień 52, 01.02.2016-07.02.2016)
Rozwiąż równanie 1-(2-(3-…-(2009-x)…))=1000.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  52.
Zauważmy, że pomijając nawiasy, otrzymujemy przed liczbą parzystą znak ,,-'', a przed nieparzystą ,,+''. Wobec tego rozwiązujemy równanie
1-2+3-4+5-6+…+2007-2008+2009-x=1000.
Różnica dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa (-1). Stąd
1004 · (-1)+2009-x=1000.
Ostatecznie x=5.
Rozwiązaniem równania jest liczba 5.

ZADANIE 51 (tydzień 51, 25.01.2016-31.01.2016)
Dwóch uczniów rozwiązuje dwa rebusy w ciągu dwóch minut. Ile rebusów rozwiąże 10 uczniów w ciągu 10 minut?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  51.
Wiadomo, że dwóch uczniów rozwiązuje dwa rebusy w ciągu dwóch minut. Zatem 1 uczeń rozwiązuje 1 rebus w 2 minuty. Wtedy 10 uczniów rozwiąże 10 rebusów w 2 minuty. Ostatecznie w 10 minut 10 uczniów rozszyfruje 50 rebusów.

ZADANIE 50 (tydzień 50, 18.01.2016-24.01.2016)
Wyznacz wszystkie liczby siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  50.
Wiadomo, że liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeżeli liczba utworzona z ostatnich dwóch jej cyfr jest podzielna przez 4. Jedynie 32 jest podzielna przez 4 (inne dwucyfrowe kombinacje dwójek lub trójek, tzn. 22, 33, 23, nie są podzielne przez 4). Na pozostałych pięciu miejscach można postawić dwójki lub trójki tak, aby utworzona liczba siedmiocyfrowa była podzielna przez 3, czyli suma cyfr ma być podzielna przez 3. Warunek ten spełniają dwie dwójki i trzy trójki (suma cyfr liczby siedmiocyfrowej jest równa 18) lub pięć dwójek (suma cyfr równa 15). Pierwszy przypadek odrzucamy, bo dwójek ma być więcej niż trójek. Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest 2222232.

ZADANIE 49 (tydzień 49, 11.01.2016-17.01.2016)
Suma cyfr pewnej liczby dziewięciocyfrowej, w której cyfra 2 występuje jeden raz jest równa 9. Jaki jest iloczyn cyfr tej liczby?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  49.
Ponieważ w liczbie dziewięciocyfrowej cyfra 2 występuje jeden raz, więc suma pozostałych cyfr to 7. Zatem co najmniej jedna z pozostałych ośmiu cyfr jest równa 0. Stąd iloczyn cyfr danej liczby jest równy 0.

ZADANIE 48 (tydzień 48, 04.01.2016-10.01.2016)
Trzy kury, znoszące regularnie jajka, w ciągu trzech dni zniosły trzy jajka. Ile jajek zniesie w ciągu 12 dni 12 takich kur?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  48.
Jedna kura znosi jedno jajko w ciągu trzech dni. Zatem w ciągu 12 dni zniesie cztery jajka. W konsekwencji 12 kur zniesie w ciągu 12 dni 48 jajek.

ZADANIE 47 (tydzień 47, 28.12.2015-03.01.2016)
Na tablicy zapisano kolejne liczby  naturalne od 1 do 10. Wybieramy dwie z nich i w ich miejsce wpisujemy liczby większe od nich o 1. Czynność tę powtarzamy wielokrotnie. Za każdym razem wybieramy dwie dowolne liczby, które są zapisane na tablicy i zastępujemy je liczbami o 1 większymi. Czy w pewnym momencie można otrzymać na tablicy 10 takich samych liczb?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  47.
Suma liczb naturalnych od 1 do 10 jest równa 55. Za każdym razem wybierając dwie liczby i zastępując je liczbami o 1 większymi,  zwiększamy tę sumę o 2. Wobec tego w wyniku każdej operacji dostajemy sumę nieparzystą, więc nie jest możliwe otrzymanie na tablicy 10 takich samych liczb, bo ich suma byłaby liczbą parzystą.

ZADANIE 46 (tydzień 46, 21.12.2015-27.12.2015)
Skrzynia, kufry i pudełka mają zamki. W skrzyni jest 6 kufrów, w każdym kufrze są 3 pudełka, w każdym pudełku po 3 złote monety. Jaka jest najmniejsza liczba zamków, które trzeba otworzyć, aby wyjąć 22 monety?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  46.
Aby wyjąć 22 monety, trzeba wykorzystać 8 pudełek (7 · 3+1=22) Ponieważ w każdym kufrze są 3 pudełka, więc trzeba otworzyć 3 kufry. W rezultacie należy otworzyć 12 zamków (zamek skrzyni, 3 zamki w kufrach, 8 zamków do pudełek).


ZADANIE 45 (tydzień 45, 14.12.2015-20.12.2015)
Trzy brzoskwinie ważą tyle samo, co dwie pomarańcze i jedno jabłko. Trzy jabłka i dwie pomarańcze ważą tyle samo, co pięć brzoskwiń. Ile brzoskwiń zrównoważy pięć jabłek i dwie pomarańcze?

ROZWIĄZANIE  ZADANIA  45.
Niech j oznacza jabłko, p-pomarańczę, b-brzoskwinię. Ponieważ 1j+2p=3b oraz 3j+2p=5b, więc 2j+(1j+2p)=5b.Stąd waga jabłka jest równa wadze brzoskwini. Wobec tego 5j+2p=2j+(3j+2p)=2b+5b=7b - siedem brzoskwiń zrównoważy 5 jabłek i 2 pomarańcze.

 

ZADANIE 44 (tydzień 44, 07.12.2015-13.12.2015)
Suma pewnych 100 liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą. Czy iloczyn tych liczb też jest liczbą nieparzystą?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  44.
NIE. Gdyby wszystkie liczby były nieparzyste, to ich suma byłaby parzysta jako suma  100 liczb nieparzystych. Zatem wśród podanych liczb istnieje co najmniej jedna liczba parzysta. Stąd iloczyn tych liczb jest liczbą parzystą.

ZADANIE 43 (tydzień 43, 30.11.2015-06.12.2015)
W zawodach sportowych wzięło udział 99 uczniów. Wykaż, że wśród nich jest 15 (a może więcej) takich, którzy urodzili się w tym samym dniu tygodnia.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  43.
Gdyby w każdym dniu tygodnia urodziło się 14 lub mniej uczniów biorących udział w zawodach, to wszystkich byłoby co najwyżej 98 (14 · 7). Było 99 uczestników, więc w którymś dniu tygodnia urodziło się 15 (lub więcej) osób.


ZADANIE 42 (tydzień 42, 23.11.2015-29.11.2015)
Zeszyt Bartka ma ponumerowane strony od 1 do 60. Chłopiec wyrwał z niego 10 kartek i dodał liczby numerujące ich strony. Czy w wyniku mógł otrzymać 101?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  42.
Zauważmy, że suma liczb ponumerowanych stron na każdej kartce jest liczbą nieparzystą - jako suma liczby parzystej i nieparzystej. Sumując 10 liczb nieparzystych dostajemy liczbę parzystą. Zatem Bartek nie mógł otrzymać liczby 101.

ZADANIE 41 (tydzień 41, 16.11.2015-22.11.2015)
Piszemy liczbę 0, potem 1, potem znów 1. Następną napisaną liczbą jest najmniejsza liczba całkowita nieujemna, która nie wystąpiła na żadnym z trzech poprzednich miejsc. Postępujemy tak dalej. Jaka liczba będzie na miejscu 2015?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  41.
Wypisując liczby całkowite nieujemne sposobem podanym w zadaniu mamy:
0, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 0, 3, …
Widać, że po liczbach 0, 1 powtarza się cykl czterech liczb 1, 2, 0, 3. Ponieważ 2015=2+503 · 4+1, więc na miejscu 2015 stoi liczba 1.

 

ZADANIE 40 (tydzień 40, 09.11.2015-15.11.2015)
Czy można banknot 100 złotowy wymienić na 55 monet o nominale 5 zł i 1 zł?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  40.
Kwota zawarta w 55 opisanych monetach (jednozłotowych i pięciozłotowych) jest sumą nieparzystej liczby liczb nieparzystych, więc wyraża się nieparzystą liczbą złotych. Zatem nie może to być 100 zł.

 

ZADANIE 39 (tydzień 39, 02.11.2015-08.11.2015)
Adam i Bartek mają tyle samo pieniędzy. Ile pieniędzy Adam musi dać Bartkowi, aby ten miał więcej od Adama o 200 zł?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  39.
Adam musi dać Bartkowi 100 zł. Wtedy Bartek będzie miał o 100 zł więcej, a Adam o 100 zł mniej.

 

ZADANIE 38 (tydzień 38, 26.10.2015-01.11.2015)
Ile jest liczb naturalnych o sumie cyfr w zapisie dziesiętnym równej 100 i iloczynie tych cyfr równym 5?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  38.
Iloczyn cyfr jest równy 5, które jest liczbą pierwszą, więc liczba naturalna w zapisie dziesiętnym jest dziewięćdziesięciosześciocyfrowa, ma cyfrę 5 i 95 jedynek (5+95 · 1=100). Wobec tego wszystkich takich liczb jest tyle, ile możliwości postawienia cyfry 5 na jednym miejscu w liczbie dziewięćdziesięciosześciocyfrowej, to znaczy 96.

 

ZADANIE 37 (tydzień 37, 19.10.2015-25.10.2015)
Automat matematyczny działa na następującej zasadzie: do danej liczby dodaje 1 lub ją podwaja. Do automatu wprowadzono liczbę 0. Po wykonaniu pewnej liczby operacji automat otrzymał liczbę 100. Jaka jest najmniejsza liczba operacji, które musi wykonać automat, aby otrzymać taki wynik?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  37.
Trzeba wykonać 9 operacji:  0---1----2----3----6----12-----24---25----50----100.


ZADANIE 36 (tydzień 36, 12.10.2015-18.10.2015)
W pięciokącie jedna z przekątnych ma 7 cm, a druga, wychodząca z tego samego wierzchołka, ma 8 cm. Przekątne te podzieliły cały pięciokąt na trzy trójkąty – każdy o obwodzie 20 cm. Oblicz obwód pięciokąta.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  36.
Suma obwodów trzech utworzonych trójkątów jest równa 60. Na tę sumę składa się obwód pięciokąta i policzone dwa razy przekątne długości 7 i 8 cm. W rezultacie obwód pięciokąta jest równy 30 cm ( 60-2 · 7-2 · 8=30).

 

ZADANIE 35 (tydzień 35, 05.10.2015-11.10.2015)
W pewnym sklepie za jedną pomarańczę można otrzymać 12 śliwek, za jednego melona 4 pomarańcze. Ile czereśni można dostać za melona, jeżeli za 3 czereśnie uzyskujemy 1 śliwkę?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  35.
Jeżeli za jedną pomarańczę można otrzymać 12 śliwek, to za 4 pomarańcze dostajemy 48 śliwek. Ponieważ za 1 śliwkę uzyskujemy 3 czereśnie, więc za jednego melona mamy 144 czereśnie (3 · 48).

ZADANIE 34 (tydzień 34, 28.09.2015-04.10.2015)
Liczbę naturalną nazywamy palindromiczną, jeżeli jej zapis dziesiętny czytany od lewej do prawej jest taki sam, jak czytany od prawej do lewej, np. 353, 24642, 77. Oblicz różnicę między największą sześciocyfrową i najmniejszą pięciocyfrową liczbą palindromiczną.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  34.
Największą sześciocyfrową liczbą palindromiczną jest 999999, a najmniejszą pięciocyfrową liczbą palindromiczną jest 10001. Ich różnica to 989998.

ZADANIE 33 (tydzień 33, 21.09.2015-27.09.2015)
Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 utworzono liczbę dziewięciocyfrową, w której każda z podanych liczb występuje tylko raz, a ponadto każda cyfra jest albo większa o 5, albo mniejsza o 4 od liczby ją poprzedzającej. Ile jest takich liczb?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  33.
Jest dziewięć liczb o podanej własności. Jedna z nich to 162738495. Wszystkie pozostałe utworzymy stawiając pierwszą cyfrę na ostatnie miejsce.


ZADANIE 32 (tydzień 32, 14.09.2015-20.09.2015)
Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 4 o sumie cyfr równej 4.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  32.
Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. Natomiast suma cyfr jest równa 4 dla układu cyfr:
4+0+0+0, 3+1+0+0, 2+2+0+0, 2+1+1+0, 1+1+1+1.
W rezultacie szukane liczby to: 4000, 3100, 1300, 2200, 2020, 1120.

 

ZADANIE 31 (tydzień 31, 07.09.2015-13.09.2015)
Trzy kolejne liczby trzycyfrowe zapisano obok siebie, bez odstępów, otrzymując liczbę dziewięciocyfrową podzielną przez 4 i 25. Znajdź te liczby, wiedząc, że w ich zapisie dziesiętnym występują jedynie trzy różne cyfry.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  31.
Liczba dziewięciocyfrowa dzieli się przez 4 i 25, więc przez 100. Dwie ostatnie cyfry to 00. Zatem poprzednie liczby trzycyfrowe mają końcówki 99 oraz 98. Wobec tego do zapisania całej liczby dziewięciocyfrowej użyto trzech cyfr 0, 8, 9. W rezultacie szukaną liczbą jest 898 899 900. Odpowiedź. Liczbami trzycyfrowymi o podanych własnościach są 898, 899 oraz 900.


ZADANIE 30 (tydzień 30, 31.08.2015-06.09.2015)
W trzech jednakowych puszkach znajduje się mleko, cukier i sól. Niestety, pomylono nalepki i żadna nie opisuje poprawnie zawartości puszki. Potrząsając tylko jedną z nich ustal, co zawiera każda puszka.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  30.
Należy potrząsnąć puszką z napisem ,,sól'' lub ,,cukier''. Rozważmy pierwszy przypadek. Jeżeli potrząsając puszką, usłyszymy ,,chlupanie'', to znaczy, że w pojemniku jest mleko. Wówczas w puszce z napisem ,,cukier'' jest sól, a w puszce z napisem ,,mleko'' jest cukier. Natomiast, gdy usłyszymy odgłos czegoś sypkiego, to z pewnością w puszce jest cukier. Wtedy w puszce z napisem ,,cukier'' jest mleko, a w puszce podpisanej ,,mleko'' jest sól. Podobnie w drugim przypadku. Jeżeli potrząsając puszką z napisem ,,cukier'' usłyszymy chlupanie, to jest tam mleko. Wtedy w puszce z etykietą ,,mleko'' jest sól, a w puszce ,,sól'' jest cukier. Gdy upewnimy się, że w puszce jest sól, to w puszce z etykietą ,,sól'' jest mleko, a w puszce z napisem ,,mleko'' mamy cukier. Odpowiedź: Wystarczy potrząsnąć puszką z napisem ,,sól'' lub ,,cukier'', aby odgadnąć zawartość każdej puszki.

ZADANIE 29 (tydzień 29, 24.08.2015-30.08.2015)
Jaś pomyślał  pewną liczbę naturalną, pomnożył ją przez 13, odrzucił ostatnią cyfrę wyniku, otrzymaną liczbę pomnożył przez 7, znów odrzucił ostatnią cyfrę wyniku i otrzymał 21. Jaką liczbę pomyślał Jaś?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  29.
Problem można rozwiązać metodą ,,od końca''. Przed drugim odrzuceniem ostatniej cyfry Jaś miał liczbę pomiędzy 210 a 219. W tym zakresie liczb naturalnych są tylko dwie podzielne przez 7. Mianowicie 210 i 217, mamy bowiem 210=30 · 7 oraz  217=31 · 7. Zatem przed pomnożeniem przez 7 Jaś operował liczbą 30 albo 31. Wobec tego przed pierwszym odrzuceniem ostatniej cyfry miał liczbę pomiędzy 300 a 319. Tylko jedna liczba w tym przedziale dzieli się przez 13: liczba 312, bo 312=24 · 13. To oznacza, że liczbą, o której pomyślał Jaś, było 24.

ZADANIE 28 (tydzień 28, 17.08.2015-23.08.2015)
Dane są liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wykonujemy operację polegającą na dodaniu do dwóch spośród nich liczby 1. Na sześciu nowych liczbach wykonujemy tę samą operację. Czy powtarzając wielokrotnie tę czynność, możemy uzyskać wszystkie liczby równe?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  28.
Nie możemy uzyskać sześciu równych liczb. Zauważmy, że suma wszystkich liczb jest równa 21, więc jest liczbą nieparzystą. Po każdej operacji suma liczb wzrasta o 2. W rezultacie zawsze otrzymujemy liczbę nieparzystą, a suma sześciu równych liczb jest liczbą parzystą.

ZADANIE 27 (tydzień 27, 10.08.2015-16.08.2015)
Suma i iloczyn pewnych dziesięciu liczb całkowitych są parzyste. Ile najwięcej może być wśród nich liczb nieparzystych?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  27.
Gdyby wszystkie dane liczby były nieparzyste, to ich iloczyn byłby nieparzysty, zatem warunki założenia nie byłyby spełnione. Gdyby dziewięć danych liczb było nieparzystych i jedna liczba parzysta, to ich suma byłaby nieparzysta, wbrew założeniu. Natomiast, jeżeli weźmiemy osiem liczb nieparzystych i dwie parzyste, to ich suma i iloczyn są parzyste. Odpowiedź: Wśród dziesięciu liczb całkowitych może być co najwyżej osiem liczb nieparzystych, aby suma i iloczyn wszystkich liczb były nieparzyste.

ZADANIE 26 (tydzień 26, 03.08.2015-09.08.2015)|
Dwóch uczonych napisało na siedmiu kartkach liczby 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 - na każdej kartce jedną liczbę. Następnie pierwszy wziął losowo trzy kartki, drugi dwie inne kartki, a ostatnie dwie, bez oglądania ich, wyrzucili. Pierwszy uczony, zaglądając do swoich kartek, powiedział do drugiego: ,,Wiem, że suma liczb na twoich kartkach jest parzysta''. Jakie liczby wylosował pierwszy z uczonych?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  26.
Widząc liczby napisane na swoich trzech kartkach, pierwszy uczony znał liczby napisane na pozostałych czterech. Zatem zdanie ,,Wiem, że suma liczb na twoich kartkach jest liczbą parzystą” oznacza, że suma każdych dwóch liczb napisanych na pozostałych czterech kartkach jest parzysta. Stąd wniosek, że liczby na pozostałych czterech kartkach muszą być tej samej parzystości. Wśród rozważanych liczb są to jedynie liczby nieparzyste 5, 7, 9, 11. Wobec tego pierwszy uczony musiał wylosować liczby 6, 8, 10.

ZADANIE 25 (tydzień 25, 27.07.2015-02.08.2015)
Na swoje 62-dniowe letnie wakacje w lipcu i sierpniu Piotr przygotował dokładny plan, w które dni będzie kłamał, a w które mówił prawdę. Następnie, Piotr k-tego dnia wakacji (dla każdego k od 1 do 62) stwierdzał, że zaplanował kłamanie w co najmniej k dni. Jak wiele spośród tych stwierdzeń było kłamstwami?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  25.
Zauważmy, że jeżeli Piotr mówił prawdę jednego dnia, to musiał on również mówić prawdę każdego z dni poprzednich. Gdyby mówił prawdę tylko w ciągu k < 31 dni, otrzymalibyśmy sprzeczność z tym, że kłamał przez 62-k > 31 dni. Podobnie, gdyby Piotr mówił prawdę przez więcej niż 31 dni, oznaczałoby to, ze za mało kłamał. Ostatecznie więc Piotr kłamał dokładnie w 31 dni.

ZADANIE 24 (tydzień 24, 20.07.2015-26.07.2015)
Cyfrowy zegar wyświetla czas (godziny i minuty) w formacie 24-godzinnym. Przez ile minut w ciągu doby na wyświetlaczu zegara widoczna jest cyfra 5?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  24.
W ciągu doby są dwie godziny w trakcie których cyfra 5 wyświetlana jest przez cały czas: 5 oraz 15. Stąd otrzymujemy 120 minut. W pozostałej części dnia piątkę można zobaczyć podczas ostatnich dziesięciu minut każdej godziny (co daje 22·10=220 minut) oraz pięciokrotnie podczas pozostałych pięćdziesięciu minut (stąd mamy 22·5=110 minut). Podsumowując, cyfra 5 widoczna jest w ciągu doby na wyświetlaczu zegara przez dokładnie 450 minut (120 + 220 + 110 = 450).

ZADANIE 23 (tydzień 23, 13.07.2015-19.07.2015)
Jaką największą, a jaką najmniejszą liczbę trzycyfrową można otrzymać z liczby 18094015 przez wykreślenie pięciu cyfr bez zmiany ich kolejności?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  23.
Największą uzyskaną liczbą jest 945, a najmniejszą 101.

ZADANIE 22 (tydzień 22, 06.07.2015-12.07.2015)
W każdym z siedmiu kolejnych lat, zawsze 20 maja urodził się jeden krasnoludek. Trzy najmłodsze krasnale mają razem 42 lata. Ile lat mają razem trzy najstarsze?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  22.
Jeżeli wiek najmłodszego krasnoludka oznaczymy przez n, to n+(n+1)+(n+2)=42. Zatem najmłodszy krasnal ma 13 lat. Wtedy wszystkie siedem krasnali mają odpowiednio 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 lat. Wobec tego suma wieku trzech  najstarszych to 54 lata (17+18+19).

ZADANIE 21 (tydzień 21, 29.06.2015-05.07.2015)
Ania i Bartek stoją w kolejce po bilety na koncert. Bartek jest bliżej kasy niż Ania. Między nimi stoją 3 osoby. Za Bartkiem ustawiło się 10 osób, a przed Anią 8 osób. Ile osób stoi w kolejce? Które miejsce w kolejce zajmuje Ania, a które Bartek?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  21.
Kolejka ustawiona jest następująco:
4 osoby, Bartek, 3 osoby, Ania, 6 osób.
Zatem Ania zajmuje dziewiąte, a Bartek piąte miejsce w kolejce, która liczy 15 osób.


ZADANIE 20 (tydzień 20, 22.06.2015-28.06.2015)
Mamy dwie patelnie. Na każdej zmieścimy tylko jednego kotleta. Jedna strona kotleta smaży się w ciągu 1 minuty. W jakim najkrótszym czasie usmażymy na tych patelniach 3 kotlety?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  20.
3 minuty.
W pierwszej minucie usmażymy po jednej stronie dwa kotlety. W drugiej - jednego całego i trzeciego z jednej strony. W trzeciej minucie kończymy smażenie dwóch kotletów usmażonych po jednej stronie.

 

ZADANIE 19 (tydzień 19, 15.06.2015-21.06.2015)
Na spacerze Ania robiła zdjęcia mamie i tacie. Łącznie 24 zdjęcia. Mama jest na 18 zdjęciach, a tata na 14. Jaką część wszystkich zdjęć stanowią te, na których jest mama i tata?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  19.
Ponieważ (18+14)-24=8, więc mama i tata są wspólnie na 8 zdjęciach, czyli na 1/3 wszystkich zdjęć.


ZADANIE 18 (tydzień 18, 08.06.2015-14.06.2015)
Banknot dwudziestozłotowy rozmieniono na złotówki i dwuzłotówki. Ile było monet jednozłotowych, a ile dwuzłotowych, jeżeli monet dwuzłotowych było o jedną więcej?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  18.
20-2-18, 18:(2+1)=6.
Było 6 złotówek i 7 dwuzłotówek.

 

ZADANIE 17 (tydzień 17, 01.06.2015-07.06.2015)
Towar z opakowaniem kosztuje 2,50 zł, przy czym towar jest o 2 zł droższy od opakowania. Ile kosztuje opakowanie?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  17.
Opakowanie kosztuje 0,25 zł., bo (2,5-2):2=0,25.

ZADANIE 16 (tydzień 16, 25.05.2015-31.05.2015)
Arbuz waży 3 kg i pół arbuza. Ile waży arbuz?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  16.
Pół arbuza waży 3 kg, więc cały arbuz 6 kg.


ZADANIE 15 (tydzień 15, 18.05.2015-24.05.2015)
Dwaj ojcowie i dwaj synowie zjedli 3 jabłka, każdy po całym jabłku. Jak to możliwe?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  15.
Byli to: dziadek, ojciec i syn.

 

ZADANIE 14 (tydzień 14, 11.05.2015-17.05.2015)
Do 7 pudeł zapakowano po 7 kartonów, a w każdym kartonie jest 7 pudełek. Ile jest wszystkich opakowań?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  14.
7 pudeł, 7 · 7 kartonów, 7 · 7 · 7 pudełek. Razem 399 opakowań, bo 7+49+343=399.

ZADANIE 13 (tydzień 13, 04.05.2015-10.05.2015)
Jak sprawiedliwie podzielić trzy jednakowe arbuzy między cztery osoby wykonując jak najmniej cięć?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  13.
Najpierw dzielimy dwa arbuzy na połowy, a następnie trzeci arbuz dzielimy dwoma cięciami na cztery równe części. Każda osoba dostaje ¾ arbuza.

ZADANIE 12 (tydzień 12, 27.04.2015-03.05.2015)
W turnieju szachowym bierze udział 6 zawodników. Każdy z nich rozgrywa partię z każdym z pozostałych uczestników. Ile partii zostało rozegranych?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  12.
15 partii: 6 zawodników, każdy gra z pięcioma, więc 30 partii, ale każdą partię policzyliśmy dwa razy.


ZADANIE 11 (tydzień 11, 20.04.2015-26.04.2015)
Jan zamienił prostokątną działkę na inną, bliżej rzeki. Wprawdzie jest dwa razy dłuższa, ale dwa razy węższa od poprzedniej. Czy dużo zyskał na tej zamianie?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  11.
Nic nie zyskał,  pole działki nie zmieniło się:   P= 0,5·x·2·y =x·y.

ZADANIE 10 (tydzień 10, 13.04.2015-19.04.2015)
Łączny wiek dziadka i jego wnuków bliźniaków Piotra i Pawła jest równy 80 lat. Dziadek jest starszy od każdego z nich o 50 lat. Ile lat ma dziadek?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  10. 
Wiek każdego z wnuków to 10 lat, bo (80-50):3=10. Zatem dziadek ma 50+10=60 lat.

ZADANIE 9 (tydzień 9, 06.04.2015-12.04.2015)
Ile końców ma 17 i pół patyka?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  9.
Nawet pól patyka ma dwa końce. Zatem wszystkich jest 36, bo 18∙2=36.

 

ZADANIE 8 (tydzień 8, 30.03.2015-05.04.2015)
Państwo Kowalscy mają dwie córeczki. Każda z nich ma trzech braci. Ile dzieci mają państwo Kowalscy?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  8.
Państwo Kowalscy mają 2 dziewczynki i trzech chłopców, czyli pięcioro dzieci.


ZADANIE 7 (tydzień 7, 23.03.2015-29.03.2015)
Ślimak próbuje wspiąć się na wieżę Eiffla. Ma ona 324 m wysokości, a ślimak wpełza codziennie 8 m, ale niestety, co noc podczas snu ześlizguje się o 2 m. Po ilu dniach uda mu się wpełznąć na szczyt?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  7.
Po każdej dobie jest o 6 m wyżej. Na wysokość 318 m wejdzie po 53 (318:6=53) dniach. W 54 dniu (przed zaśnięciem ) osiągnie szczyt wieży.

ZADANIE 6 (tydzień 6, 16.03.2015-22.03.2015)
W talii kart jest 13 kierów, 13 kar, 13 trefli i 13 pików. Ile co najmniej kart trzeba wylosować, aby był wśród nich przynajmniej 1 pik, 1 kier i 1 trefl?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  6.
Jeżeli wylosujemy 39, to może się zdarzyć, że będą to wszystkie kiery, wszystkie kara i wszystkie trefle. Zatem 39 kart to za mało, by spełnić warunki zadania. Przy 40 kartach musi się zdarzyć co najmniej jedna karta w każdym kolorze, bo 3 kolory dają w sumie tylko 39 kart.

ZADANIE 5 (tydzień 5, 09.03.2015-15.03.2015)
Beczka napełniona wodą do pełna waży 64 kg, a napełniona wodą tylko do połowy waży 42 kg. Ile waży pusta beczka?
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  5.
Woda potrzebna do napełnienia beczki do połowy waży 22 kg, ponieważ 64-42=22 kg. Zatem pusta beczka waży 20 kg (42-22=20 kg).

 

ZADANIE 4 (tydzień 4, 02.03.2015-08.03.2015)
Czy z 117 jednakowych patyków  można ułożyć prostokąt? Nie wolno łamać patyków ani nakładać na siebie.
ROZWIĄZANIE  ZADANIA  4.
Nie. Obwód prostokąta jest liczbą parzystą, bo O=2x+2y=2(x+y).

 

ZADANIE 3 (tydzień 3, 23.02.2015-01.03.2015)
W małej chińskiej wiosce mieszkają 33 rodziny. Każda z nich ma 1, 2 lub 3 rowery. Rodzin, które mają 3 rowery jest tyle samo, co rodzin posiadających jeden rower. Ile jest rowerów w tej wiosce?
ROZWIĄZANIE ZADANIA 3.
Ponieważ rodzin, które mają 3 rowery jest tyle, ile rodzin mających 1 rower, więc średnio każda rodzina w tej wiosce ma 2 rowery. W konsekwencji mieszkańcy wioski mają w sumie 66 rowerów, (33∙2=66).

 

ZADANIE 2 (tydzień 2, 16.02.2015-22.02.2015)
Ogrodnik włożył 122 jabłka do 15 koszyków. Czy mógł to zrobić tak, aby w każdym koszyku była inna liczba jabłek?
ROZWIĄZANIE ZADANIA 2.
Gdyby ogrodnik włożył do pierwszego koszyka jedno jabłko, do drugiego – dwa jabłka, do trzeciego – trzy, do czwartego – cztery, … , do piętnastego - piętnaście jabłek, to wykorzystałby 120 jabłek (1+2+3+4+…+15=120). Pozostały dwa jabłka, które można rozdzielić na dwa sposoby:
a) oba włożyć do ostatniego koszyka i wtedy w kolejnych koszykach jest 1, 2, 3, …, 13, 14,17 jabłek;
b) do dwóch ostatnich koszyków włożyć po jednym jabłku i wówczas w kolejnych koszykach jest 1, 2, 3,…, 13, 15, 16 jabłek.
Zatem ogrodnik mógł włożyć 122 jabłka do 15 koszyków w taki sposób, aby w każdym koszyku była inna liczba jabłek.

 

ZADANIE 1 (tydzień 1, 09.02.2015-15.02.2015)
Dziesięć  pająków zjada 10 much w ciągu 20 sekund. Ile czasu potrzeba 100 pająkom na zjedzenie 100 much?
ROZWIĄZANIE ZADANIA 1.
Ponieważ 10 pająków zjada 10 much w 20 sekund, więc jeden pająk zjada jedną muchę w 20 sekund. Stąd wynika, że 100 pająków zjada 100 much również w 20 sekund.

 

Kontakt

Instytut Matematyki
Akademia Pomorska w Słupsku

ul. Kozietulskiego 6-7
76-200 Słupsk
Telefon: 59 84 83 797
(Budynek byłej WHSZ)

Sekretariat Instytutu 
mgr Ewa Marciniak
Pokój nr 74
Telefon: 59 84 83 797
E-mail: Ten adres pocztowy jest chroniony przed spamowaniem. Aby go zobaczyć, konieczne jest włączenie w przeglądarce obsługi JavaScript.